로런츠 힘

원자 하나의 질량은 \(10^{-26}\) kg 정도로, 어떤 저울로도 직접 달 수 없다. 그런데 과학자들은 탄소 원자와 산소 원자의 질량 차이를 아주 정밀하게 안다. 전하를 띤 원자를 자기장 속으로 쏘면 원을 그리며 휘는데, 무거운 원자일수록 덜 휜다. 자기장이 왜 움직이는 전하를 휘게 하며, 휜 정도로 어떻게 질량을 알아낼까?

자기장 \(B\) (T)

이온의 질량수

1.4.1움직이는 전하가 받는 힘

자기장 속의 도선에 전류가 흐르면 도선이 힘을 받는다. 전류는 전하의 흐름이므로, 그 힘은 사실 도선 속에서 움직이는 전하 하나하나가 받는 힘을 모은 것이다. 그래서 도선 없이 빈 공간을 날아가는 전하도 자기장 속에서 힘을 받는다. 이 힘을 로런츠 힘이라 한다.

힘이 늘 속도에 수직이므로 로런츠 힘은 입자의 속력을 바꾸지 못하고 방향만 바꾼다. 즉 일을 하지 않는다. 그 결과 입자는 등속 원운동을 한다. 구심력이 로런츠 힘이므로 \(\dfrac{mv^2}{r} = qvB\)에서 반지름은 \(r = \dfrac{mv}{qB}\)이다.

1.4.2질량 분석기와 오로라

질량 분석기는 원자를 이온으로 만들어 전압 \(V\)로 가속한 뒤 자기장 속으로 보낸다. 가속하면 \(\dfrac{1}{2}mv^2 = qV\)이므로 무거운 이온일수록 느리다. 그런데 반지름은 \(mv\)에 비례하므로, 두 식을 합치면 \(r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}\)이다. 반지름이 질량의 제곱근에 비례하여 도착점이 질량마다 달라진다. 그림 1에서 질량수를 바꾸어 보자.

한편 태양에서 오는 대전 입자들은 지구 자기장에 붙잡혀 자기력선을 따라 나선을 그리며 극지방으로 몰린다. 그곳에서 대기 분자와 부딪쳐 빛을 내는 것이 오로라이다.¹

1.4.3예제 풀이

질량은 \(m = 1.99 \times 10^{-26}\) kg이다. 속력은 \(v = \sqrt{\dfrac{2qV}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{1.99 \times 10^{-26}}} \approx 1.27 \times 10^5\) m/s이다.

반지름은 \(r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1.99 \times 10^{-26} \times 1.27 \times 10^5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5} \approx 0.032\) m, 곧 약 3.2 cm이다. 산소-16은 반지름이 질량의 제곱근에 비례하므로 \(3.2 \times \sqrt{\dfrac{16}{12}} \approx 3.7\) cm이다. 반원을 그리고 도착하므로 두 이온의 도착점은 지름 차이인 약 1 cm만큼 떨어진다. 그래서 검출판의 위치만 보고도 어떤 원자인지 구별할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 자기장과 이온의 질량을 바꾸며 질량 분석기의 원리와 전동기가 도는 까닭을 직접 따져 보자.

1. 입자 가속기의 하나인 사이클로트론은 자기장으로 입자를 원운동시키며 한 바퀴 돌 때마다 전기장으로 조금씩 가속한다. 반지름 \(\frac{mv}{qB}\)에서 원운동 주기 \(\frac{2\pi m}{qB}\)는 속력과 관계없어, 일정한 주기로 전압을 바꾸어 주면 된다.