적분 속도식

두통약 설명서에는 '4~6시간마다 한 알'이라고 적혀 있다. 몸속에 들어간 약은 간과 콩팥에서 분해되고 걸러져, 대부분의 약은 일정한 시간마다 남은 양의 절반씩 줄어든다. 처음 4시간에 반이 줄면, 다음 4시간에는 남은 것의 반이 또 준다. 그런데 술의 알코올은 그렇지 않아, 몸속 양에 상관없이 한 시간에 일정한 양씩 줄어든다. 두 경우는 무엇이 다를까? 농도가 시간에 따라 어떻게 변하는지 식으로 나타낼 수 있을까?

반응 차수

4.8.1속도 법칙에서 적분 속도식으로

반응 A → 생성물의 속도가 \(-\dfrac{d[\text{A}]}{dt} = k[\text{A}]^n\)일 때 \(n\)을 반응 차수라 한다. 이 미분 방정식을 풀면 시간에 따른 농도를 바로 계산하는 식을 얻는다. 이것을 적분 속도식이라 한다. 0차 반응은 농도에 상관없이 일정한 빠르기로 줄어든다. 1차 반응은 빠르기가 농도에 비례하므로, 농도가 줄수록 느려지며 늘 같은 비율로 준다. 2차 반응은 농도의 제곱에 비례하여, 농도가 줄면 훨씬 더 느려진다.

그림 1에서 차수를 바꾸어 보자. 1차 반응은 \(k = 0.1\)이면 반감기가 \(\ln 2 \div 0.1 \approx 6.9\)분으로 늘 같다. 0차 반응은 첫 반감기가 5분이지만 다음은 2.5분으로 짧아져 10분이면 다 없어진다. 2차 반응은 반감기가 10분, 20분, 40분으로 점점 길어진다. 그래서 농도를 재어 \([\text{A}]\), \(\ln[\text{A}]\), \(1/[\text{A}]\)를 시간에 대해 그려 보고, 어느 그래프가 직선이 되는지로 반응 차수를 알아낸다.¹

4.8.2몸속의 약과 알코올

대부분의 약은 몸속 농도에 비례하는 빠르기로 분해되고 걸러지므로 1차 반응을 따른다. 그래서 반감기가 약마다 정해져 있고, 그 반감기에 맞추어 복용 간격을 정한다. 반면 알코올은 간의 효소가 처리하는데, 술을 조금만 마셔도 효소가 모두 일하고 있어 더 빨리 처리할 수 없다. 그래서 몸속 알코올의 양에 상관없이 시간당 일정한 양, 대략 한 시간에 7~10 g씩 줄어드는 0차 반응을 따른다. 술을 많이 마시면 깨는 데 그만큼 오래 걸리는 까닭이다.

4.8.3예제 풀이

12시간은 반감기의 3배이므로 \(400 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 50\) mg이 남는다. 속도 상수는 \(k = \ln 2 \div 4.0 \approx 0.173\)/시간이다.

5%로 줄려면 \(\ln\dfrac{[\text{A}]_0}{[\text{A}]} = \ln 20 \approx 3.00 = kt\)이므로 \(t = 3.00 \div 0.173 \approx 17.3\)시간이다. 반감기의 약 4.3배이다. 즉 1차 반응에서는 처음 양에 상관없이 같은 시간마다 같은 비율로 줄므로, 반감기만 알면 어느 시점의 양도 계산할 수 있다. 그래서 의사는 약의 반감기로 효과가 유지되는 시간과 다음 복용 시각을 정한다.

아래 탐구 카드에서 농도 자료를 세 가지 그래프로 그려 반응 차수를 찾고, 반감기로 시간에 따른 양을 계산해 보자.

1. 방사성 동위 원소의 붕괴도 1차 반응이다. 탄소-14의 반감기는 약 5730년으로 일정하여, 옛 유물에 남은 탄소-14의 비율로 그 생물이 죽은 뒤 지난 시간을 잰다.