허블–르메트르 법칙과 대폭발 우주론

본문

허블–르메트르 법칙과 대폭발 우주론

본문

1929년 허블은 먼 은하일수록 스펙트럼이 붉은 쪽으로 더 많이 밀려 있다는 것, 곧 더 빨리 멀어진다는 것을 밝혔다. 그보다 2년 앞서 르메트르는 같은 관계를 이론과 관측으로 내놓았다. 모든 은하가 멀어지고 있다면, 시간을 거꾸로 돌리면 은하들이 점점 가까워져 언젠가 한곳에 모여 있었을 것이다. 그때가 언제였는지 멀어지는 빠르기만으로 계산할 수 있을까? 그리고 그 뜨거웠던 초기 우주는 어떤 흔적을 남겼을까?

허블 상수 H₀ (km/s/Mpc)

그림 1. 은하까지의 거리와 후퇴 속도의 비례 관계(파랑)와 가상의 은하 자료(검은 점). 기울기 H₀가 크면 같은 거리의 은하가 빨리 멀어져, 거꾸로 돌렸을 때 한곳에 모이는 시간이 짧다.

먼저 알아야 할 것도플러 효과와 적색 편이, 우주의 팽창(지구과학), 별까지의 거리(별까지의 거리), 활동 은하핵(외부 은하와 활동 은하핵).

3.10.1허블–르메트르 법칙

은하의 후퇴 속도는 스펙트럼선의 적색 편이 \(z\)로 재며, 가까운 은하에서는 \(v \approx cz\)이다. 거리는 세페이드 변광성이나 Ia형 초신성으로 잰다. 둘을 그래프에 그리면 은하들이 거리에 비례하는 속도로 멀어진다. 이것은 우리가 우주의 중심에 있어서가 아니다. 공간 자체가 고르게 늘어나면, 어느 은하에서 보아도 다른 은하들이 거리에 비례하여 멀어지는 것으로 보인다. 부풀어 오르는 건포도 빵 속의 건포도들처럼, 멀리 있는 건포도일수록 빨리 멀어진다.

정리 3.10.1 허블–르메트르 법칙과 허블 시간

은하의 후퇴 속도는 거리에 비례하여 \(v = H_0 d\)이다. \(H_0\)를 허블 상수라 한다. 팽창 속도가 늘 일정했다면 모든 은하가 한곳에 있던 때는 \[t_H = \frac{d}{v} = \frac{1}{H_0}\]만큼 전이다. \(H_0 = 70\) km/s/Mpc이면 \(1/H_0 \approx 140\)억 년이다.

그림 1에서 허블 상수를 바꾸어 보자. \(H_0 = 70\)이면 거리 100 Mpc의 은하는 7000 km/s로 멀어지고, 허블 시간은 약 140억 년이다. \(H_0 = 50\)이면 약 196억 년, 100이면 약 98억 년이다. 실제 우주의 팽창 속도는 중력과 암흑 에너지 때문에 시간에 따라 변해 왔으므로, 우주의 나이는 허블 시간과 조금 다르다. 그래도 지금 측정된 우주의 나이 약 138억 년은 허블 시간과 크기가 같다. 은하가 멀어지는 빠르기 하나로 우주의 나이를 어림할 수 있는 것이다.¹

3.10.2초기 우주의 흔적

시간을 거꾸로 돌리면 우주는 점점 작아지며 뜨거워진다. 대폭발 우주론은 우주가 아주 뜨겁고 빽빽한 상태에서 팽창하며 식어 왔다고 설명한다. 우주가 생긴 지 몇 분 동안은 온도가 10억 K 근처라서 양성자와 중성자가 융합해 헬륨을 만들었다. 그래서 지금 우주 물질의 약 4분의 1이 헬륨이다. 약 38만 년 뒤 온도가 3000 K로 내려가자 전자가 원자핵에 붙잡혀 빛이 자유롭게 나아가기 시작했다. 그 빛이 우주의 팽창과 함께 파장이 1000배 넘게 늘어나, 지금 하늘 모든 방향에서 오는 2.7 K의 우주 배경 복사가 되었다.

그림 2. 서로 다른 세 가지 관측이 모두 뜨겁고 빽빽한 초기 우주를 가리킨다.

3.10.3예제 풀이

예제 3.10.2

어떤 은하의 스펙트럼에서 수소의 Hα선(정지 파장 656.3 nm)이 671.6 nm에서 관측되었다. 이 은하의 후퇴 속도와 거리를 구하여라. \(H_0 = 70\) km/s/Mpc이다. 1 Mpc = \(3.09 \times 10^{19}\) km, 1년 = \(3.16 \times 10^7\) s로 허블 시간도 구하여라.

적색 편이는 \(z = (671.6 - 656.3) \div 656.3 \approx 0.0233\)이므로 후퇴 속도는 \(v \approx cz = 3.0 \times 10^5 \times 0.0233 \approx 7000\) km/s이다. 거리는 \(d = v/H_0 = 7000 \div 70 = 100\) Mpc, 곧 약 3억 3천만 광년이다.

허블 시간은 \(1/H_0 = 3.09 \times 10^{19} \div 70 \approx 4.4 \times 10^{17}\) s이고, 이를 년으로 바꾸면 \(4.4 \times 10^{17} \div 3.16 \times 10^7 \approx 1.4 \times 10^{10}\)년, 곧 약 140억 년이다. 즉 스펙트럼선 하나의 이동과 허블 상수로 은하의 거리를, 허블 상수 하나로 우주의 나이를 어림한다. 그래서 허블 상수를 정밀하게 재는 일은 지금도 천문학의 중요한 과제이다.

아래 탐구 카드에서 은하의 거리와 후퇴 속도 자료로 허블 상수를 구하고, 대폭발 우주론의 증거를 정리해 보자.

허블이 처음 구한 허블 상수는 약 500 km/s/Mpc으로, 허블 시간이 20억 년밖에 되지 않아 지구의 나이보다 짧았다. 그 뒤 거리 측정의 오류가 바로잡혀 지금의 값 70 안팎이 되었다.

마무리

은하는 거리에 비례하는 속도로 멀어지며, 이는 공간 자체가 고르게 팽창하기 때문이다. 팽창을 거꾸로 돌리면 모든 은하가 모였던 때까지의 시간은 대략 허블 상수의 역수이고, 그 뜨거운 초기 우주는 우주 배경 복사와 헬륨의 비라는 흔적을 남겼다. 그래서 처음 질문의 우주의 나이는 은하가 멀어지는 빠르기로 구한 허블 상수의 역수, 약 140억 년으로 어림할 수 있다.

탐구 1

은하의 거리와 후퇴 속도로 우주의 나이를 계산할 수 있을까?

실험 · 허블–르메트르 법칙 · 허블 시간 · 허블 긴장

자료

H₀ (km/s/Mpc): —
허블 시간 1/H₀: —
허블 거리 c/H₀: —

허블 1929 자료는 원 논문 표 1의 거리·속도이다. 초신성은 Pantheon+ 목록(Scolnic et al. 2022; Brout et al. 2022)에서 0.023 ≤ z ≤ 0.08인 90개를 골랐고, 거리 d = 10^{(m − M − 25)/5} Mpc, 속도 v = cz(1 + 0.78z)(가까운 우주에서 가속 팽창을 고려한 2차 보정)이다. 아래 그래프의 표준 모형 곡선은 Ω_m = 0.315, Ω_Λ = 0.685(Planck 2018)로 계산했다.

탐구 문제먼 은하일수록 스펙트럼선이 붉은 쪽으로 더 많이 밀려 있다. 거리와 후퇴 속도의 관계에서 우주가 언제 시작했는지 거꾸로 계산할 수 있을까?
복원후퇴 속도는 적색 편이 z = Δλ/λ로 재고, 가까운 우주에서 v ≈ cz이다. 거리는 세페이드 변광성으로 보정한 Ia형 초신성처럼 밝기를 아는 천체(표준 촛불)로 잰다. 르메트르(1927)와 허블(1929)은 v = H₀ d를 찾았다.
설계은하마다 (d, v)를 기록해 원점을 지나는 직선으로 맞추고, 기울기 H₀를 얻는다. 팽창 속도가 늘 일정했다면, 지금 거리 d인 은하는 시간 d/v = 1/H₀ 전에 우리와 한 점에 있었다. 그래서 허블 시간 t ≈ 1/H₀가 우주 나이의 어림값이다. km와 Mpc를 맞추면 1/H₀ = 977.8/H₀ (10억 년)이다.
분석허블의 1929년 자료로는 H₀ ≈ 420~500 km/s/Mpc, 1/H₀ ≈ 20억 년이 나와 지구 나이(45억 년)보다 짧은 모순이 생겼다. 거리 사다리의 바탕인 세페이드 보정이 틀려 거리를 너무 작게 잡았기 때문이다. 지금의 초신성 자료로는 1/H₀가 약 140억 년이다. 감속(물질)과 가속(암흑 에너지)이 섞인 표준 모형으로 계산한 우주 나이는 138억 년이다.
측정두 자료를 모두 읽어 H₀와 1/H₀를 구해 보자. 초신성 자료에서 절대 등급 보정을 바꾸면 H₀가 어떻게 달라지는가? 아래 그래프에서 일정한 팽창 직선과 표준 모형 곡선이 우주의 시작점(크기 0)을 어디서 만나는지 비교해 보자.
오차·안전가까운 은하는 서로 끌어당겨 생기는 고유 운동(수백 km/s)이 팽창 속도보다 커서 허블 법칙에서 벗어난다(우연 오차). 거리 척도의 영점이 틀리면 모든 거리가 같은 비율로 틀려 H₀ 전체가 틀린다(계통 오차). 지금도 세페이드–초신성 사다리(SH0ES, 약 73 km/s/Mpc)와 우주 배경 복사(Planck, 약 67 km/s/Mpc)가 서로 다른 값을 주는데, 이를 허블 긴장이라 하며 아직 풀리지 않았다. 1/H₀는 팽창 속도가 일정하다는 가정에서만 정확한 나이이다.

확인조건이 달라지면

새 연구에서 모든 은하의 거리가 지금 알려진 값보다 10% 더 멀다는 사실이 밝혀졌다면(속도는 그대로), 허블 시간 1/H₀는 어떻게 될까?

탐구 2

우주는 왜 대부분 수소와 헬륨일까?

빅뱅 핵합성 · 중성자 붕괴 · 모식 계산

헬륨을 만든 시각 = 빅뱅 후 —

중성자를 헬륨 원자핵으로 묶기

중성자 : 양성자: —
헬륨 질량 비율: —
원자 수 H : He: —
그때 온도(대략): —

양성자(수소 원자핵) 중성자 헬륨 원자핵

모식 계산이다. 빅뱅 1초 뒤 중성자 비율을 15.5%로 두고, 그 뒤로는 중성자 붕괴(평균 수명 879초)만 계산했다. 남은 중성자는 모두 헬륨-4로 들어간다고 보았고, 초록 띠는 관측값(약 24.5%)이다.

질문여러 별과 은하 사이 기체의 스펙트럼을 분석하면, 질량으로 수소가 약 3/4, 헬륨이 약 1/4이고 어느 방향을 봐도 비슷하다. 왜 하필 이 비율일까?
복원수소 원자핵은 양성자 1개, 헬륨 원자핵은 양성자 2개와 중성자 2개이다. 그런데 중성자는 원자핵 밖에 홀로 있으면 불안정해서, 평균 약 15분 만에 양성자로 바뀐다.
설명빅뱅 약 1초 뒤, 우주가 식으면서 중성자와 양성자가 서로 바뀌는 반응이 거의 멈췄다. 이때 중성자 1개에 양성자 5~6개가 남았다. 그 뒤 약 3분 동안 중성자가 조금씩 붕괴하다가, 온도가 약 10억 K로 내려가자 남은 중성자가 거의 모두 헬륨 원자핵 속으로 들어갔다.
연결그래서 중성자 : 양성자 = 1 : 7이면, 핵자 16개 가운데 중성자 2개와 양성자 2개가 헬륨 1개를 이루고 양성자 12개가 수소로 남는다. 헬륨의 질량 비율은 4 / 16 = 25%이고, 일반적으로 Y = 2 × 중성자 비율이다. 원자 수로 세면 수소 12개에 헬륨 1개이다.
적용막대를 오른쪽으로 옮겨 보자. 헬륨을 더 늦게 만들었다면 그동안 중성자가 더 붕괴해 헬륨 비율이 줄어든다. 관측값과 맞는 시각이 언제인지도 찾아보자.
판단막대를 3분보다 왼쪽에 두면 헬륨이 더 많아 보이지만, 실제로는 그렇게 할 수 없었다. 그 전에는 너무 뜨거워서 헬륨으로 가는 첫 단계인 중수소가 만들어지자마자 부서졌기 때문이다. 또 빅뱅 때는 헬륨보다 무거운 원소가 거의 생기지 않았다(리튬 극미량). 약 20분 뒤에는 우주가 너무 식고 묽어져 핵반응이 멈췄고, 탄소나 산소는 훨씬 나중에 별 속에서 만들어진다.

확인조건이 달라지면

다른 조건은 그대로이고, 중성자의 평균 수명만 1분으로 훨씬 짧았다면 우주 초기에 만들어진 헬륨의 질량 비율은?

탐구 3

하늘 전체에서 오는 희미한 전파는 왜 대폭발의 증거일까?

우주 배경 복사 · 흑체 맞추기 · T ∝ (1 + z) · COBE/FIRAS 실제 자료

맞춰 볼 흑체 온도 T = 2.700 K

χ² (점 43개): —
나머지가 2σ 안에 든 점: —
최대 세기의 파장 (빈 법칙): —

과거로 가기, 적색 편이 z = 0

그때의 복사 온도: —
대폭발 뒤 시간: —
광자 수밀도: —

위 그래프는 COBE 위성 FIRAS 관측 자료(Fixsen 외 1996, NASA LAMBDA, 퍼블릭 도메인). 오차 막대는 1σ이며, 위 그래프에서는 선 굵기보다 작다. 아래 그래프의 시간은 Planck 2018 표준 모형 값(H₀ = 67.4 km/s/Mpc, Ω_m = 0.315, Ω_Λ = 0.685, 복사 포함)으로 프리드만 방정식을 적분해 구했다. 대폭발 핵합성 이전의 아주 이른 시기는 이 단순 모형의 범위를 벗어나 대략값이다.

질문1965년 펜지어스와 윌슨은 안테나를 어느 방향으로 돌려도 똑같이 들어오는 약한 마이크로파 잡음을 발견했다. 이 잡음은 왜 우주가 뜨겁고 조밀한 상태에서 시작했다는 증거가 될까?
복원흑체의 복사 세기는 플랑크 법칙 B_ν(T) = (2hν³/c²) / (e^hν/kT − 1)을 따르며, 모양은 온도 하나로 정해진다. 최대 세기의 파장은 빈 법칙 λ_max = 2.898 mm·K / T이다. 우주가 팽창하면 빛의 파장도 함께 늘어나 1 + z = λ_관측/λ_방출 = a(지금)/a(그때)이다.
설명초기 우주는 자유 전자와 광자가 끊임없이 부딪히는 뜨거운 플라스마였고, 그래서 복사는 완벽한 열평형, 곧 흑체 상태였다. 온도가 약 3000 K로 떨어지자 전자가 원자핵에 붙잡혀 중성 원자가 되었고(재결합, z ≈ 1100), 광자는 더 이상 산란되지 않고 곧장 날아가기 시작했다. 팽창은 모든 파장을 같은 비율로 늘리므로, 흑체 모양은 그대로 유지된 채 온도만 T = T₀(1 + z)로 낮아진다. 오늘 우리가 보는 2.7 K의 복사가 바로 그 빛이다.
연결FIRAS 자료는 흑체 곡선에서 최대 세기의 0.005 %(50 ppm)도 벗어나지 않는다. 별이나 먼지처럼 서로 다른 온도의 천체 빛이 섞이면 이렇게 완벽한 흑체가 나올 수 없으므로, 늘 같은 모습이라는 정상 우주론으로는 설명하기 어렵다. 같은 뜨거운 초기 우주에서, 대폭발 약 3분 뒤 온도 약 10⁹ K일 때 양성자와 중성자가 결합해 헬륨이 질량의 약 25 %를 차지하게 된 대폭발 핵합성도 일어났다. 오래된 별과 기체에서 실제로 관측되는 헬륨과 중수소의 양이 이 예측과 맞는다는 것이 대폭발 우주론의 또 다른 기둥이다.
적용온도를 움직여 χ²가 가장 작아지는 온도를 찾고, 아래쪽 나머지 그래프가 0 둘레에 흩어지는지 확인해 보자. 온도를 0.01 K만 바꿔도 나머지가 오차 막대보다 몇 배 커지는가? 다음으로 z를 1100까지 올려 온도와 시간을 읽고, z를 더 올려 물질과 복사의 밀도가 같아진 때, 대폭발 핵합성이 일어난 때를 찾자.
판단“우주 배경 복사는 대폭발이 일어난 한 점에서 오는 빛”이라는 생각은 틀린다. 재결합은 우주의 모든 곳에서 일어났고, 우리는 어느 방향에서나 약 138억 년 동안 날아온, 지금은 약 460억 광년 떨어진 곳의 빛을 받는다. 또 이 빛이 재결합 때 ‘생긴’ 것도 아니다. 광자는 훨씬 전부터 있었고, 재결합은 광자가 물질에서 풀려난 때이다. 멀리 있는 기체 구름의 분자 들뜸을 이용해 z가 큰 곳의 복사 온도를 재 보면 실제로 T₀(1 + z)와 맞다.

확인조건이 달라지면

적색 편이 z = 2인 은하에 있는 천문학자가 그 시점에 우주 배경 복사를 관측한다면, 그가 잰 스펙트럼은 어떨까?